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正交矩阵:定义、性质与判断方法

来源:www.bbfatsb.com 时间:2024-07-11 09:02:03 作者:独具判断网 浏览: [手机版]

  在线性代数中,正交矩阵是一类特殊的方阵,列向量是正交的,即垂直www.bbfatsb.com。正交矩阵具有许多重要的性质,保持向量的长度和角度不变,是一个可逆矩阵等。本文将介绍正交矩阵的定义、性质以及判断方法。

正交矩阵:定义、性质与判断方法(1)

正交矩阵的定义

设$A$是一个$n\times n$的方阵,若列向量是正交的,则$A$是一个正交矩阵。即:

  $$A^TA=AA^T=I$$

  中$I$是单位矩阵原文www.bbfatsb.com

正交矩阵:定义、性质与判断方法(2)

正交矩阵的性质

  正交矩阵具有以下性质:

  1. 保持向量的长度不变:对任意向量$x\in\mathbb{R}^n$,有$||Ax||_2=||x||_2$,中$||\cdot||_2$表示向量的二范数。

证明:$$||Ax||_2=\sqrt{(Ax)^T(Ax)}=\sqrt{x^TA^TAx}=\sqrt{x^Tx}=||x||_2$$

2. 保持向量之间的角度不变:对任意向量$x,y\in\mathbb{R}^n$,有$(Ax)^T(Ay)=x^Ty$,即向量$x$和$y$之间的角与$Ax$和$Ay$之间的等。

证明:$$\cos\theta=\frac{x^Ty}{||x||_2||y||_2}=\frac{(Ax)^T(Ay)}{||Ax||_2||Ay||_2}=\cos\theta'$$

中$\theta$和$\theta'$分别表示向量$x$和$y$之间的角和$Ax$和$Ay$之间的角。

  3. 是一个可逆矩阵:正交矩阵$A$是可逆的,且逆矩阵为$A^{-1}=A^T$IcP

证明:$$A^{-1}A=(A^T)^TA=AA^T=I$$

  4. 行列式的值为$\pm1$:正交矩阵的行列式的值为$\det(A)=\pm1$。

  证明:由$A^TA=I$,则$\det(A^T)\det(A)=\det(I)=1$,即$(\det(A))^2=1$,故$\det(A)=\pm1$。

正交矩阵:定义、性质与判断方法(3)

判断正交矩阵的方法

  有以下几种方法可以判断一个矩阵是否为正交矩阵:

1. 判断列向量是否正交:果一个矩阵的列向量正交,则该矩阵是一个正交矩阵。

  2. 判断行向量是否正交:果一个矩阵的行向量正交,则该矩阵是一个正交矩阵欢迎www.bbfatsb.com

  3. 判断矩阵的转置和逆是否等:果一个矩阵$A$的逆矩阵等转置矩阵$A^T$,则该矩阵是一个正交矩阵。

  4. 判断矩阵的行列式是否为$\pm1$:果一个矩阵的行列式的值为$\pm1$,则该矩阵是一个正交矩阵。

结论

  正交矩阵是一类特殊的方阵,列向量是正交的。正交矩阵具有许多重要的性质,保持向量的长度和角度不变,是一个可逆矩阵等独~具~判~断~网。判断一个矩阵是否为正交矩阵可以过判断列向量行向量是否正交,判断转置和逆是否等,判断行列式是否为$\pm1$。正交矩阵在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。

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